Question

20．已知球的直徑SC=2，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=1，∠ASC=∠BSC=30°，則棱錐S-ABC的體積為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{6}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{6}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 取SC的中點(diǎn)D，則D為球心，過A做AE⊥SC與E，連接BE，則BE⊥SC，∠BED=60°，棱錐S-ABC的體積：V_S-ABC=V_S-ABE+V_C-ABE=$\frac{1}{3}×SC×{S}_{△ABE}$，由此能求出結(jié)果．

解答 解：取SC的中點(diǎn)D，則D為球心，
則AD=BD=DS=1，∠ASC=∠BSC=∠SBD=30°，△ASC≌△BSC，
過A做AE⊥SC與E，連接BE，則BE⊥SC，∠BED=60°，
在△BDE中，DE=BDcos∠BED=$\frac{1}{2}$，
BE=BDsin∠BED=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${S}_{△ABE}=\frac{1}{2}×AB×\sqrt{B{E}^{2}-（\frac{AB}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{\frac{3}{4}-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故三棱錐S-ABC的體積等于棱錐S-ABE和棱錐C-ABE的體積之和，
即棱錐S-ABC的體積：
V_S-ABC=V_S-ABE+V_C-ABE
=$\frac{1}{3}×SE×{S}_{△ABE}+\frac{1}{3}×CE×{S}_{△ABE}$
=$\frac{1}{3}×SC×{S}_{△ABE}$=$\frac{1}{3}×2×\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查柱、錐、臺(tái)體的體積，解答此題的關(guān)鍵是注意球、錐體的性質(zhì)的應(yīng)用，考查空間想象能力與計(jì)算能力，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．