Question

7．已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，將直角梯形ABCD沿AC折疊成三棱錐D-ABC，當(dāng)三棱錐D-ABC的體積取最大值時(shí)，其外接球的體積為$\frac{4π}{3}$．

Answer 1

分析 畫(huà)出圖形，確定三棱錐外接球的半徑，然后求解外接球的體積即可．

解答 解：已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，沿AC折疊成三棱錐，如圖：AB=2，AD=1，CD=1，
∴AC=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{2}$，
∴BC⊥AC，
取AC的中點(diǎn)E，AB的中點(diǎn)O，連結(jié)DE，OE，∵當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，
∴平面DCA⊥平面ACB，
∴OB=OA=OC=OD，
∴OB=1，就是外接球的半徑為1，
此時(shí)三棱錐外接球的體積：$\frac{4π}{3}×{1}^{3}$=$\frac{4π}{3}$．
故答案為：$\frac{4π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查折疊問(wèn)題，三棱錐的外接球的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．