Question

20.在如圖所示的幾何體中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中點(diǎn).

    (I)求證：CM ⊥EM：

    (Ⅱ)求DE與平面EMC所成角的正切值.

Answer 1

本題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查空間想象能力和推理能力.

  方法一：

  (I)證明：因?yàn)锳C=BC，M是AB的中點(diǎn)，

    所以CM⊥AB.

    又EA ⊥平面ABC，   

    所以CM⊥EM.

(Ⅱ)解：連結(jié)MD,設(shè)AE=,

則BD=BC=AC=2,

在直角梯形EABD中,

AB=,M是AB的中點(diǎn),

所以DE=3,EM=,MD=

因此DM⊥EM,

因?yàn)镃M⊥平面EMD,

所以CM⊥DM,

因此DM⊥平面EMC,

故∠DEM是直線DE和平面EMC所成的角.

在Rt△EMD中,

MD=EM=,

tan∠DEM=方法二：

如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，分別為軸和軸，過點(diǎn)作與平面垂直的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，.，.

（I）證明：因?yàn)?SUB>，，

所以，

故.（II）解：設(shè)向量與平面EMC垂直，則n⊥, n⊥,

即n·=0,n·=0.

因?yàn)?SUB>, ,

所以y₀=﹣1,z₀₌﹣2,

即n=(1, ﹣1, ﹣2).

因?yàn)?SUB>=(),

cos＜n, ＞=

DE與平面EMC所成的角θ是n與夾角的余角，

所以tanθ=.