Question

（2003•朝陽區(qū)一模）過點(diǎn)（0，2）的直線l與雙曲線c：x²-y²=6的左支交于不同的兩點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是（　�。�

• A．(-

  15

  3

  ，

  15

  3

  )
• B．（-∞，-1）∪（1，+∞）
• C．(

  15

  3

  ，-1)
• D．(1，

  15

  3

  )

Answer 1

分析：找出與雙曲線的漸近線平行的直線，與雙曲線相切的直線，即可得出直線l的斜率的取值范圍．

解答：解：如圖所示．
取過點(diǎn)P（0，2）的直線y=x+2時(shí)與漸近線y=x平行，只有一個(gè)交點(diǎn)；
令直線y=kx+2（k＞0）與雙曲線相切，聯(lián)立

y=kx+2 x2-y2=6

，化為（1-k²）x²-4kx-10=0，
由△=16k²+40（1-k²）=0，解得k=

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3

．
由過點(diǎn)（0，2）的直線l與雙曲線c：x²-y²=6的左支交于不同的兩點(diǎn)，
∴直線l的斜率的取值范圍是1＜k＜

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3

．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：正確“找出與雙曲線的漸近線平行的直線，與雙曲線相切的直線”是得出直線l的斜率的取值范圍的關(guān)鍵．