Question

4．由-1，0，1，2，3中選三個(gè)（不重復(fù)）數(shù)字組成二次函數(shù)y=ax²+bx+c的系數(shù)．
（1）開(kāi)口向上且不過(guò)原點(diǎn)的不同拋物線有幾條？
（2）與x軸的正、負(fù)半軸均有交點(diǎn)的不同拋物線有多少條？
（3）與x軸負(fù)半軸至少有一個(gè)交點(diǎn)的不同拋物線有多少條？

Answer 1

分析 （1）開(kāi)口向上且不過(guò)原點(diǎn)，則a＞0且c≠0；
（2）與x軸的正、負(fù)半軸均有交點(diǎn)，則ac＜0；
（3）分三類，第一類，同（2），第二類，當(dāng)只與負(fù)半軸有1個(gè)交點(diǎn)，則c=0時(shí)，ab＞0，第三類，當(dāng)與負(fù)半軸有2個(gè)交點(diǎn)，則ac＞0，ab＜0

解答 解：（1）開(kāi)口向上且不過(guò)原點(diǎn)的不同拋物線，a＞0且c≠0，共有C₃¹C₃¹C₃¹=27（條）；
（2）與x軸的正、負(fù)半軸均有交點(diǎn)，則ac＜0，a、b、c有2C₃¹C₃¹C₁¹=18種選法；
（3）有（2）可知，與x軸的正、負(fù)半軸均有交點(diǎn)，有18種，
當(dāng)只與負(fù)半軸有1個(gè)交點(diǎn)，則c=0時(shí)，ab＞0，則有A₃²=6種選法；
當(dāng)與負(fù)半軸有2個(gè)交點(diǎn)，則ac＞0，ab＜0，故b=-1，有b²-4ac＜0，則a，c不存在，
根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得共有18+6=24種．

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列組合問(wèn)題，考查拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題．