Question

已知全集U={1,2,3,4,5},A={x∈U|x²-5qx+4=0}.

(1)若A=U,求實(shí)數(shù)q的取值范圍;

(2)若A中有四個(gè)元素,求A及實(shí)數(shù)q的值;

(3)若A中有且僅有兩個(gè)元素,求A及實(shí)數(shù)q的值.

Answer 1

解：(1)∵全集是U,由A=U,知A=,即方程x²-5qx+4=0的解不在U中,

由1²-5q·1+4≠0得q≠1;

由2²-5q·2+4≠0得q≠;

同理,由3、4、5不是方程的根,依次可得q≠、q≠1、q≠;

綜上可得所求范圍是{q|q∈R,且q≠,q≠1,q≠,q≠}.

(2)由A中有四個(gè)元素,

∴A中的方程有一解在U中,利用(1)中結(jié)論可得:

若q=1,則A={1,4},矛盾,∴q≠1;

若q=,則A={2},

此時(shí)A={1,3,4,5};

若q=,則A={3},

此時(shí)A={1,2,4,5};

若q=,則A={5},

此時(shí)A={1,2,3,4}.

(3)設(shè)這兩個(gè)元素是x₁、x₂,由x₁·x₂=4及x₁、x₂∈U知,當(dāng)且僅當(dāng)q=1時(shí), A={2,3,5}.