Question

已知函數(shù)y＝，(1)求函數(shù)的定義域；(2)求函數(shù)的值域；(3)判斷函數(shù)的單調(diào)性．

Answer 1

答案：
解析：

分析：將函數(shù)y＝解析式化簡為y＝，根據(jù)分母不為零可以求函數(shù)的定義域；因為102x＞0，所以將函數(shù)y＝中102x看成未知數(shù)，把102x用關于y的式子g(y)表示，解關于不等式g(y)＞0即可得到函數(shù)的值域；判斷函數(shù)的單調(diào)性可以運用函數(shù)單調(diào)性的定義． 　　解：(1)y＝＝．因為102x－1≠0，所以x≠0，所以函數(shù)y＝定義域為{x|x≠0}． 　　(2)由y＝得y·102x－y＝102x＋1，所以102x＝． 　　因為102x＞0，即＞0，所以y＜－1或y＞1． 　　所以函數(shù)的值域為(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 　　(3)設任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，則 　　f(x1)－f(x2)＝ 　　＝ 　�。�． 　　因為x1，x2∈(－∞，0)，所以－1＜0，－1＜0． 　　又因為x1＜x2，所以＞，因而有f(x1)－f(x2)＞0． 　　所以函數(shù)y＝在(－∞，0)上為單調(diào)減函數(shù)． 　　設任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，－1＞0，－1＞0，＞， 　　所以有f(x1)－f(x2)＞0． 　　所以函數(shù)y＝在(0，＋∞)上為單調(diào)減函數(shù)． 　　綜上所述，函數(shù)y＝在(－∞，0)及(0，＋∞)上分別為單調(diào)減函數(shù)． 　　點評：若將函數(shù)式變形為y＝＝＝1＋，據(jù)此，根據(jù)102x－1隨x的值的遞增而遞增以及x的取值范圍，也可以求出函數(shù)的值域以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．另外要注意的是：不能由y＝f(x)在(－∞，0)及(0，＋∞)上分別為單調(diào)減函數(shù)，得出函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上為單調(diào)減函數(shù)，事實上，函數(shù)y＝f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有單調(diào)性．