Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₆=13，S₁₀=120．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足：bn=

2

an•an+1

，(n∈N*)，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）用“a₁，d”法將a₆，s₁₀用a₁和d表示，解關(guān)于a₁和d的二元一次方程組．
（II）將an代入bn=

2

an•an+1

求得bn再選用裂項法求得T_n．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，（1分）
由S₁₀=120，得2a₁+9d=24，（2分）
又a₆=a₁+5d=13．（3分）
解得a₁=3，d=2，（5分）
因此{(lán)a_n}的通項公式是：a_n=2n+1，（n=1，2，3，）．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=

2

an•an+1

=

2

(2n+1)(2n+3)

=

(2n+3)-(2n+1)

(2n+1)(2n+3)

=

1

2n+1

-

1

2n+3

（9分）
所以T_n=b₁+b₂+b₃++b_n-2+b_n-1+b_n
=(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+(

1

7

-

1

9

)++(

1

2n-3

-

1

2n-1

)+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)+(

1

2n+1

-

1

2n+3

)（11分）
=

1

3

-

1

2n+3

=

2n

3(2n+3)

．（13分）

點評：本題主要考查等差數(shù)列通項公式和構(gòu)造數(shù)列裂項法求和，是數(shù)列中�？嫉膯栴}．