Question

(2007北京海淀模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/FONT>[0，1]，且滿足下列條件：

①對(duì)于任意x[0，1]總有，且f(1)=4；

②若，，，則有．

(1)求f(0)的值；

(2)求證：；

(3)當(dāng)時(shí)，試證明：．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)令， 由①對(duì)于任意x[0，1]，總有，∴． 又由②得，即．∴f(0)=3． (2)任取，且設(shè)， 則， 因?yàn)?/FONT>，所以， 即，∴． ∴當(dāng)x[0，1]時(shí)，． (3)先用數(shù)學(xué)歸納法證明：． ①當(dāng)n=1時(shí)，，不等式成立； ②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，． 由 ， 得，∴， 即當(dāng)n=k＋1時(shí)，不等式成立． 由①②可知，不等式對(duì)一切正整數(shù)都成立． 于是，當(dāng)(n=1，2，3，…)時(shí)， ， 而x[0，1]，f(x)單調(diào)遞增， ∴．∴．∴f(x)＜3x＋3．