Question

2．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面A₁ACC₁⊥底面ABC，M為CC₁的中點，∠ABC=90°，AC=A₁A，∠A₁AC=60°，AB=BC=2．
（1）求證：BA₁=BM；
（2）求二面角B-A₁M-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件證明Rt△A₁DB≌Rt△MDB即可得到結(jié)論．
（2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用向量法進行求解即可．

解答 （Ⅰ）證明：取AC的中點D，連接BD，DM，AC₁，A₁D，A₁C，
∵AB=BC，∴BD⊥AC．
∵側(cè)面A₁ACC₁⊥底面ABC，且交于AC，
∴BD⊥平面A₁ACC₁，∴BD⊥A₁D，
∴BD⊥DM．又DM=$\frac{1}{2}$AC₁，△A₁AC為等邊三角形，四邊形A₁ACC₁為菱形．
∴A₁D=$\frac{1}{2}$AC₁=DM，
∴Rt△A₁DB≌Rt△MDB．
∴BA₁=BM…（6分）
（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，

則C（0，$\sqrt{2}$，0），A₁（0，0，$\sqrt{6}$），M（0，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），B（$\sqrt{2}$，0，0）．
所以$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（-$\sqrt{2}$，0，$\sqrt{6}$），$\overrightarrow{BM}$=（-$\sqrt{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）；
設$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）為平面BA₁的法向量，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BM}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{2}x+\sqrt{6}z=0}\\{-\sqrt{2}x+\frac{3\sqrt{2}}{2}y+\frac{\sqrt{6}}{2}z=0}\end{array}\right.$，
令z=$\sqrt{3}$，則$\overrightarrow{m}$=（3，1，$\sqrt{3}$）為平面BA₁M的一個法向量．
又$\overrightarrow{DB}$=（$\sqrt{2}$，0，0）為平面CA₁M的一個法向量，
所以cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{DB}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{DB}|}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$；
所以二面角B-A₁M-C的余弦值為$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．…（12分）

點評 本題主要考查空間直線相等的證明以及二面角的求解決，建立坐標系利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．