Question

已知點A（-1，0），B（1，-1）和拋物線C：y²=4x，O為坐標(biāo)原點，過點A的動直線l交拋物線C于M、P，直線MB交拋物線C于另一點Q，如圖
（1）證明：為定值；
（2）若△POM的面積為，求向量與的夾角；
（3）證明直線PQ恒過一個定點.

Answer 1

解：（1）設(shè)點
∵P、M、A三點共線，
∴ k_AM=k_PM，
即
即，
∴y₁y₂=4，

即為定值．
（2）解：設(shè)∠POM=α，則·cosα=5.
∵，·sinα=5．
由此可得tanα=1，又α∈（0，π），
∴α=45°，
故向量與的夾角為45°．
（3）證明：設(shè)點，
∵M、B、Q三點共線，
∴k_BQ= k_OM ，
即，
即
∴（y₃+1）（y₁+y₃）=
即y₁y₃+y₁+y₃+4=0.
由（1）知y₁y₂=4，即
∴
即4（y₂+y₃）+y₂y₃+4=0.（*）
 ∵
∴直線PQ的方程是
（y-y₂）（y₂+y₃）=
即y（y₂+y₃）-y₂y₃=4x
由（*）式，得-y₂y₃=4（y₂+y₃）+4，代入上式，得（y+4）（y₂+y₃）=4（x-1）．
由此可知直線PQ過定點（1，-4）。