Question

18．已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期為π，將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位長度后，得到函數g（x）的圖象，若g（-x）=-g（x），則函數f（x）的圖象（　�。�

• A． 關于點（$\frac{5π}{12}$，0）對稱
• B． 關于直線x=$\frac{5π}{12}$對稱
• C． 關于點（$\frac{π}{12}$，0）對稱
• D． 關于直線x=$\frac{π}{12}$對稱

Answer 1

分析 由條件利用正弦函數的周期性求得ω，根據y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律、正弦函數的奇偶性求得φ，可得g（x）、f（x）的解析式．再利用正弦函數的圖象的圖象的對稱性，得出結論．

解答 解：∵函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期為$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位長度后，得到函數g（x）=sin[2（x+$\frac{π}{6}$+φ]=sin（2x+$\frac{π}{3}$+φ）的圖象，
若g（-x）=-g（x），則函數g（x）為偶函數．
故 $\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即 φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z．
再結合|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得φ=$\frac{π}{6}$，∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
故當x=$\frac{5π}{12}$時，f（x）=0，故函數f（x）的圖象關于點（$\frac{5π}{12}$，0）對稱，
故選：A．

點評 本題主要考查y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數的周期性和奇偶性，正弦函數的圖象的對稱性，屬于基礎題．