Question

【題目】已知?jiǎng)又本�l：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0與圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝9．

(1)求證：無(wú)論m為何值，直線l與圓C總相交．

(2)求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)

【解析】試題分析：（1）方法一：設(shè)圓心C（3，4）到動(dòng)直線l的距離為d，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心到直線的距離d，只要證明d＜r即可；

方法二　直線l變形為m（x﹣y+1）+（3x﹣2y）=0．利用直線系過(guò)定點(diǎn)，若定點(diǎn)在圓的內(nèi)部即可；

（2）利用垂徑定理和弦長(zhǎng)公式即可得出．

試題解析：

(1)證明　方法一　設(shè)圓心C(3,4)到動(dòng)直線l的距離為d，

則d＝＝≤．

∴當(dāng)m＝－時(shí)，dmax＝<3(半徑)．故動(dòng)直線l總與圓C相交．

方法二　直線l變形為m(x－y＋1)＋(3x－2y)＝0．

令解得故動(dòng)直線l恒過(guò)定點(diǎn)A(2,3)．

而|AC|＝<3(半徑)．∴點(diǎn)A在圓內(nèi)，故無(wú)論m取何值，直線l與圓C總相交．

(2)解　由平面幾何知識(shí)知，弦心距越大，弦長(zhǎng)越小，即當(dāng)AC垂直直線l時(shí)，弦長(zhǎng)最小．

∴最小值為2＝2．