Question

3．若x＞0且x≠1，p，q∈N^*，則1+x^p+q與x^p+x^q的大小關系為x^p+x^q＜1+x^p+q．

Answer 1

分析 作差（x^p+x^q）-（1+x^p+q）=（x^p-1）（x^q-1），通過對x分類討論，利用指數函數的單調性即可得出．

解答 解：（x^p+x^q）-（1+x^p+q）
=-（x^p-1）（x^q-1），
當x＞1且x≠1時，∵p，q∈N^*，∴x^p＞1，x^q＞1，∴（x^p-1）（x^q-1）＞0，∴x^p+x^q＜1+x^p+q；
當0＜x＜1且x≠1時，∵p，q∈N^*，∴x^p＜1，x^q＜1，∴（x^p-1）（x^q-1）＞0，∴x^p+x^q＜1+x^p+q．
綜上可得：x^p+x^q＜1+x^p+q．

點評 本題考查了指數函數的單調性、“作差法”，考查了分類討論、計算能力，屬于中檔題．