Question

函數(shù)的最小值為（ ）
A．8
B．10
C．12
D．

Answer 1

【答案】分析：利用半角的三角函數(shù)化簡，f（θ）的解析式為3+cot+2 ，由θ的范圍得0＜tan＜1，且f（θ）＞6．令 y=f（θ），則一元二次方程（y-1）x²+（4-y）x+1=0 在（0，1）內(nèi)有解，喲判別式大于或等于0得y≥10，利用根與系數(shù)的關(guān)系檢驗可得兩個根均在（0，1）內(nèi)，故y的最小值為10．
解答：解：∵=3++2 =3+cot+2 ．
由于0＜θ＜，∴0＜tan＜1，∴f（θ）＞3+1+2＞6．
令 y=f（θ），由以上可得 y=3+cot+2 ，
∴（y-1）+（4-y）tan+1=0，則一元二次方程（y-1）x²+（4-y）x+1=0 在（0，1）內(nèi)有解．
∴△=（4-y）²-4（y-1）≥0，（y-2）（y-10）≥0，y≥10．
故兩根之和等于=1-∈[，1），兩根之積等于∈（0，]，
所以是兩個正數(shù)根，兩個根均在（0，1）內(nèi)，故有y≥10，即y的最小值為10．
點評：本題主要考查半角的三角函數(shù)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，不等式性質(zhì)的應(yīng)用，判斷一元二次方程（y-1）x²+（4-y）x+1=0 在（0，1）內(nèi)有解，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．