Question

16．已知函數(shù)f（x）=log₂（1+x）+log₂（1-x）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域，并判斷f（x）的奇偶性
（Ⅱ）若不等式f（x）＞m的解集為空集，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由對數(shù)式有意義可得1+x＞0且1-x＞0，解不等式可得定義域，由奇偶性的定義可得函數(shù)為偶函數(shù)；
（Ⅱ）化簡可得f（x）=log₂（1-x²），由-1＜x＜1和對的運算以及不等式的性質逐步可得函數(shù)值域，由恒成立可得．

解答 解：（Ⅰ）由對數(shù)式有意義可得1+x＞0且1-x＞0，
解得-1＜x＜1，∴函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1），
∵f（-x）=log₂（1-x）+log₂（1+x）=f（x），
∴結合定義域關于原點對稱可得f（x）為偶函數(shù)；
（Ⅱ）f（x）=log₂（1+x）+log₂（1-x）
=log₂[（1+x）（1-x）]=log₂（1-x²），
∵-1＜x＜1，∴0≤x²＜1，∴-1＜-x²≤0，
∴0＜1-x²≤1，∴f（x）=log₂（1-x²）≤0，
要使不等式f（x）＞m的解集為空集，則m≥0，
故實數(shù)m的取值范圍為[0，+∞）．

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質，涉及對數(shù)不等式的解法，屬基礎題．