Question

12．數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點A（2，0），B（0，4），且AC=BC，則△ABC的歐拉線方程為x-2y+3=0（用直線方程的一般式表示）

Answer 1

分析 由于AC=BC，可得：△ABC的外心、重心、垂心都位于線段AB的垂直平分線上，求出線段AB的垂直平分線，即可得出△ABC的歐拉線的方程．

解答 解：線段AB的中點為M（1，2），k_AB=-2，
∴線段AB的垂直平分線為：y-2=$\frac{1}{2}$（x-1），即x-2y+3=0．
∵AC=BC，
∴△ABC的外心、重心、垂心都位于線段AB的垂直平分線上，
因此△ABC的歐拉線的方程為：x-2y+3=0．
故答案為：x-2y+3=0．

點評 本題考查了歐拉線的方程、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外心重心垂心性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．