Question

設函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|．
（1）若a=-1，解不等式f（x）≥3；
（2）如果?x∈R，f（x）≥2，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|，
∴當a=-1時，不等式f（x）≥3等價于|x-1|+|x+1|≥3，
根據(jù)絕對值的幾何意義：
|x-1|+|x+1|≥3可以看做數(shù)軸上的點x到點1和點-1的距離之和大于或等于3，
則點x到點1和點-1的中點O的距離大于或等于即可，
∴點x在-或其左邊及或其右邊，即x≤-或x≥．
∴不等式f（x）≥3的解集為（-∞，-]∪[，+∞）．
（2）對?x∈R，f（x）≥2，
只需f（x）的最小值大于等于2．
當a≥1時，f（x）=|x-1|+|x-a|=，
∴f（x）_min=a-1．
同理得，當a＜1時，f（x）_min=1-a，
∴或，
解得a≥3，或a≤-1，
∴a的取值范圍是（-∞，-1]∪[3，+∞）．
分析：（1）由函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|，知當a=1時，不等式f（x）≥3等價于|x-1|+|x+1|≥3，根據(jù)絕對值的幾何意義能求出不等式f（x）≥3的解集．
（2）對?x∈R，f（x）≥2，只需f（x）的最小值大于等于2．當a≥1時，f（x）=|x-1|+|x-a|=，f（x）_min=a-1．同理，得當a＜1時，f（x）_min=1-a，由此能求出a的取值范圍．
點評：本題考查含絕對值不等式的解法，考查實數(shù)的取值范圍，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，合理運用函數(shù)恒成立的性質進行等價轉化．