Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，且AB＝1，AD＝CD＝2，E在線段PD上．
（Ⅰ）若E是PD的中點(diǎn)，試證明： AE∥平面PBC；
（Ⅱ）若異面直線BC與PD所成的角為60°，求四棱錐P－ABCD的側(cè)視圖的面積．

Answer 1

解：（Ⅰ）解法一：在四棱錐P－ABCD中，取PC的中點(diǎn)F，連結(jié)EF、FB，
因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以EFCDAB，  
所以四邊形AEFB是平行四邊形，
則AE∥FB，
而AE平面PBC，F(xiàn)B平面PBC，
∴AE∥平面PBC．   

解法二：如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，垂直于AB的直線為y軸，
BP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PB＝t， 則P（0,0，t），D（－1,2，0），C（1,2，0），A（－1,0，0），
所以E（－，1，），，
設(shè)平面PBC的法向量為，則
所以即
取，得到平面PBC的法向量為．
所以＝0，而AE平面PBC，則AE∥平面PBC.
（Ⅱ）同（Ⅰ）法二建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)（t＞0），則P（0,0，t），D（－1,2，0），C（1，2，0），
所以＝（－1,2，－t），＝（1,2，0），
則||＝，||＝，  
由已知異面直線BC與PD成60°角，
所以·=＝，
又·=＝－1×1＋2×2＋(－t)×0＝3，
所以＝3，解得t＝，即PB＝，
所以側(cè)視圖的面積為S＝×2×＝