Question

13．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程為x-y-4=0，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$．
（1）已知在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為$（4，\frac{π}{2}）$，求過點(diǎn)P且與直線l垂直的直線方程
（2）設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）在極坐標(biāo)系中，首先點(diǎn)P的極坐標(biāo)為$（4，\frac{π}{2}）$，轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)為P（0，4），進(jìn)一步求得直線l的方程為x-y-4=0的斜率為1，最后利用直線垂直的充要條件求出相應(yīng)的直線方程x+y-4=0．
（2）首先設(shè)Q（$\sqrt{3}cosα$，sinα）為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，直接利用點(diǎn)到直線x-y-4=0的距離公式，再利用三角函數(shù)的恒等變換求出相應(yīng)的結(jié)果．

解答 解：（1）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為$（4，\frac{π}{2}）$，轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)為P（0，4），
直線l的方程為x-y-4=0的斜率為1，
則：過點(diǎn)P且與直線l垂直的直線方程為：y-4=-x，
整理得：x+y-4=0．
（2）設(shè)Q（$\sqrt{3}cosα$，sinα）為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，
則到直線l：x-y-4=0的距離：
d=$\frac{|\sqrt{3}cosα+sinα-4|}{\sqrt{2}}$，
=$\frac{|2sin（α+\frac{π}{3}）-4|}{\sqrt{2}}$，
當(dāng)$α=\frac{π}{6}$時(shí)，$wicogev_{min}=\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，直線垂直的充要條件，直線方程的求法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，三角函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題型．