Question

試判斷方程x³+x²-5x-5=0的解的個數(shù).

Answer 1

分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.要判斷方程根的個數(shù)，可把方程視作函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定它的單調(diào)區(qū)間，描繪出它的大致圖象，再由根的存在性定理，確定方程根的個數(shù).

解：不妨設(shè)f(x)=x³+x²-5x-5,

則f′(x)=3x²+2x-5=(3x+5)(x-1).

令f′(x)>0，得x<-或x>1;

f′(x)<0，得-<x<1.

故函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,-)，（1，+∞）上是增函數(shù);

在區(qū)間(-,1)上是減函數(shù).

它的大致圖象是：

顯然方程x³+x²-5x-5=0的根有3個.

此外,本題也可通過因式分解求解.

點(diǎn)評 利用導(dǎo)數(shù)可判斷方程根的個數(shù):若函數(shù)y=f(x)在(a,b)上是單調(diào)函數(shù),且f(a)·f(b)<0,則必存在一個x₀,使得f(x₀)=0.依據(jù)根的分布的基本原理,結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可完成對方程根的個數(shù)的判斷.