Question

3．已知$\overrightarrow{a}$=（3，4），$\overrightarrow$=（-1，1），若非零向量$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow$共線且反向，且|$\overrightarrow{c}$|=8$\sqrt{2}$，則$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$夾角的余弦值為$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 由已知條件，可設(shè)$\overrightarrow{c}=t（-1，1）$，t＜0，根據(jù)$|\overrightarrow{c}|=8\sqrt{2}$即可求出t=-8，所以可求出向量$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$，$2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$的坐標(biāo)，從而根據(jù)向量夾角余弦的坐標(biāo)公式求出這兩向量夾角的余弦即可．

解答 解：根據(jù)題意設(shè)$\overrightarrow{c}=t（-1，1）$，t＜0；
∵$|\overrightarrow{c}|=8\sqrt{2}$；
∴$-\sqrt{2}t=8\sqrt{2}$；
∴t=-8；
∴$\overrightarrow{c}=（8，-8）$，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow=（4，3），2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=（14，0）$；
$cos＜\overrightarrow{a}-\overrightarrow，2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}＞$=$\frac{4×14}{5×14}=\frac{4}{5}$．
故答案為：$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 考查共線向量基本定理，根據(jù)向量坐標(biāo)求向量長(zhǎng)度，以及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，兩向量夾角余弦的坐標(biāo)公式．