Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-kx（x∈R）
（1）若k=e，試確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若k＞0且對任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

（1）f'（x）=e^x-e，令f'（x）=0，解得x=1
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，∴f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，f'（x）＜0，∴f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減．（6分）
（2）∵f（|x|）為偶函數(shù)，∴f（|x|）＞0恒成立等價(jià)于f（x）＞0對x≥0恒成立
當(dāng)x≥0時(shí)，f'（x）=e^x-k，令f'（x）=0，解得x=lnk
（1）當(dāng)lnk＞0，即k＞1時(shí)，f（x）在（0，lnk）減，在（lnk，+∞）增，
∴f（x）_min=f（lnk）=k-kllnk＞0，解得1＜k＜e，∴1＜k＜e
（2）當(dāng)lnk≤0，即0＜k≤1時(shí)，f'（x）=e^x-k≥0，∴f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（0）=1＞0，符合，∴0＜k≤1
綜上，0＜k＜e．（12分）．