Question

9．函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{2}$）^|x-1|+2cosπx（-4≤x≤6）的所有零點之和為10．

Answer 1

分析 由f（x）=0，得（$\frac{1}{2}$）^|x-1|=-2cosπx，設y=（$\frac{1}{2}$）^|x-1|和y=-2cosπx，作出兩個函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的對稱性進行求解即可．

解答 解：由f（x）=0，得（$\frac{1}{2}$）^|x-1|=-2cosπx，設y=（$\frac{1}{2}$）^|x-1|和y=-2cosπx，作出兩個函數(shù)的圖象，
則y=（$\frac{1}{2}$）^|x-1|y=關于x=1對稱，
分別作出函數(shù)y=（$\frac{1}{2}$）^|x-1|和y=-2cosπx圖象如圖：
由圖象可知兩個函數(shù)共有10個交點，它們中有5組關于x=1對稱，
不妨設關于x對稱的兩個零點的橫坐標分別為x₁，x₂，
則$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=1$，
即x₁+x₂=2，
∴所有10個零點之和為5（x₁+x₂）=5×2=10，
故答案為：10．

點評 本題主要考查函數(shù)零點的應用，利用數(shù)形結合將函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題是解決本題的關鍵．