Question

19．已知拋物線y²=4$\sqrt{2}$x的交點(diǎn)為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)，且橢圓的長軸長為4，左右頂點(diǎn)分別為A，B，經(jīng)過橢圓左焦點(diǎn)的直線l與橢圓交于C，D（異于A，B）兩點(diǎn)．
（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求四邊形ADBC的面積的最大值；
（3）若M（x₁，y₁）N（x₂，y₂）是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿x₁x₂+2y₁y₂=0，動(dòng)點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{ON}$（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），是否存在兩定點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂使得|PF₁|+|PF₂|為定值，若存在求出該定值，若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知條件得橢圓中的c=$\sqrt{2}$，又由橢圓的長軸為4，由此能求出橢圓方程；
（2）設(shè)直線l：x=my-$\sqrt{2}$，代入橢圓方程，得（m²+2）y²-2$\sqrt{2}$my-2=0，運(yùn)用韋達(dá)定理和四邊形ADBC的面積S=S_△ABC+S_△ABD=$\frac{1}{2}$|AB|•|y₁-y₂|，化簡整理，運(yùn)用基本不等式即可求得m=0時(shí)，取得最大值4；
（3）設(shè)P（x_P，y_P），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．由$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}$+2$\overrightarrow{ON}$，運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，得$\frac{{{x}_{P}}^{2}}{20}$+$\frac{{{y}_{P}}^{2}}{10}$=1，由橢圓定義知|PF₁|+|PF₂|為定值4$\sqrt{5}$．

解答 解：（1）由題設(shè)知：拋物線y²=4$\sqrt{2}$x的焦點(diǎn)為（$\sqrt{2}$，0），
∴橢圓中的c=$\sqrt{2}$，又由橢圓的長軸為4，得a=2，
∴b²=a²-c²=2，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）設(shè)直線l：x=my-$\sqrt{2}$，代入橢圓方程，得：（m²+2）y²-2$\sqrt{2}$my-2=0，
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），A（-2，0），B（2，0），
y₁+y₂=$\frac{2\sqrt{2}m}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=$\frac{-2}{{m}^{2}+2}$，判別式為（2$\sqrt{2}$m）²+8（m²+2）＞0，
則四邊形ADBC的面積S=S_△ABC+S_△ABD=$\frac{1}{2}$|AB|•|y₁-y₂|=2$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=2$\sqrt{（\frac{2\sqrt{2}m}{{m}^{2}+2}）^{2}+\frac{8}{{m}^{2}+2}}$=$\frac{8\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+2}$=$\frac{8}{\sqrt{{m}^{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}}$≤$\frac{8}{2}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{{m}^{2}+1}$=$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$即m=0時(shí)，等號(hào)成立．
則四邊形ADBC的面積的最大值為4．
（3）存在兩定點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂使得|PF₁|+|PF₂|為定值．
設(shè)P（x_P，y_P），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OM}$+2$\overrightarrow{ON}$，得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{P}={x}_{1}+2{x}_{2}}\\{{y}_{P}={y}_{1}+2{y}_{2}}\end{array}\right.$，①
x₁x₂+2y₁y₂=0，②
M，N是橢圓上的點(diǎn)，
∴x₁²+2y₁²=4，x₂²+2y₂²=4，
由①②，得x_p²+2y_P²=（x₁+2x₁）²+2（y₁+2y₂）²
=（x₁²+2y₁²）+4（x₂²+2y₂²），
∴x_P²+2y_P²=20，即$\frac{{{x}_{P}}^{2}}{20}$+$\frac{{{y}_{P}}^{2}}{10}$=1，
由橢圓定義知|PF₁|+|PF₂|為定值4$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，考查兩線段長為定值的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．