Question

直線

2

ax+by=1與圓x²+y²=1相交于A、B兩點(diǎn)（其中a，b是實(shí)數(shù)），且△AOB是直角三角形（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），則點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)（0，1）之間距離的最小值為（　�。�

A．0

B． 2

C． 2 -1

D． 2 +1

Answer 1

根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：
過O作OC⊥AB，因?yàn)椤鰽OB為等腰直角三角形，所以O(shè)為弦AB的中點(diǎn)，
又|OA|=|OB|=1，根據(jù)勾股定理得：|AB|=

2

，
∴|OC|=

1

2

|AB|=

2

2

，
∴圓心到直線的距離為

1

2a2+b2

=

2

2

，即2a²+b²=2，即a²=-

1

2

b²+1，
∴-

2

≤b≤

2

，
則點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)（0，1）之間距離d=

(a-0)2+(b-1)2

=

a2+b2-2b+1

=

1 2 b2-2b+2

，
設(shè)f（b）=

1

2

b²-2b+2，此函數(shù)為對(duì)稱軸為x=2的開口向上的拋物線，
∴當(dāng)-

2

≤b≤

2

＜2時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，
∵f（

2

）=3-2

2

，
∴d的最小值為

3-2 2

=

( 2 -1)2

=

2

-1．
故選C