Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，AD=，點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且DE=λa（0＜λ≤2）。

（1）求證：對(duì)任意的λ∈（0，2），都有AC⊥BE；
（2）設(shè)二面角C-AE-D的大小為θ，直線BE與平面ABCD所成的角為φ，若tanθ·tanφ=1，求λ的值。

Answer 1

解：（1）如圖，連接BE、BD，由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD。 SD⊥平面ABCD， ∴BD是BE在平面ABCD上的射影， ∴AC⊥BE。 （2）如圖，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=， ∵SD⊥平面ABCD，CD平面ABCD， ∴SD⊥CD。 又底面ABCD是正方形， ∴CD⊥AD，而SD∩AD=D，CD⊥平面SAD 連接AE、CE，過(guò)點(diǎn)D在平面SAD內(nèi)作DE⊥AE于F，連接CF，則CF⊥AE， 故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角，即∠CDF=θ。 在Rt△BDE中，∵BD=2a，DE= ∴ 在Rt△ADE中，∵ ∴ 從而 在中， 由，得 由，解得，即為所求。