Question

14．小王從甲地到乙地往返的時(shí)速分別為a和b（a＜b），其全程的平均時(shí)速為v，求證：a＜v＜$\sqrt{ab}$．

Answer 1

分析 設(shè)甲地到乙地的距離為s．可得他往返甲乙兩地的平均速度為v，再根據(jù)基本不等式得到v＜$\sqrt{ab}$和v＞a，問(wèn)題得以證明．

解答 解：設(shè)甲地到乙地的距離為s．
則他往返甲乙兩地的平均速度為v=$\frac{2s}{\frac{s}{a}+\frac{s}}$=$\frac{2ab}{a+b}$，
∵0＜a＜b
∴a+b＞2$\sqrt{ab}$＞0，
∴$\frac{2ab}{a+b}$＜$\frac{2ab}{2\sqrt{ab}}$=$\sqrt{ab}$，
∴v＜$\sqrt{ab}$．
∵$\frac{2b}{a+b}$＞1．
∴$\frac{2ab}{a+b}$＞a．
∴v＞a，
∴a＜v＜$\sqrt{ab}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了路程與速度時(shí)間之間的關(guān)系、不等式的基本性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題