Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-1，(x≤0) f(x-1)+1，(x＞0)

，把函數(shù)g（x）=f（x）-x的零點按從小到大的順序排列成一個數(shù)列，則該數(shù)列的通項公式為（　�。�

A．an= n(n-1) 2

B．a(chǎn)n=n-1

C．a(chǎn)n=n（n-1）

D．an=2n-2

Answer 1

當(dāng)x∈（-∞，0]時，由g（x）=f（x）-x=2^x-1-x=0，得2^x=x+1．令y=2^x，y=x+1．在同一個坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)在區(qū)間（-∞，0]上的圖象，由圖象易知交點為（0，1），故得到函數(shù)的零點為x=0．
當(dāng)x∈（0，1]時，x-1∈（-1，0]，f（x）=f（x-1）+1=2^x-1-1+1=2^x-1，由g（x）=f（x）-x=2^x-1-x=0，得2^x-1=x．令y=2^x-1，y=x．在同一個坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)在區(qū)間（0，1]上的圖象，由圖象易知交點為（1，1），故得到函數(shù)的零點為x=1．
當(dāng)x∈（1，2]時，x-1∈（0，1]，f（x）=f（x-1）+1=2^x-1-1+1=2^x-2+1，由g（x）=f（x）-x=2^x-2+1-x=0，得2^x-2=x-1．令y=2^x-2，y=x-1．在同一個坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)在區(qū)間（1，2]上的圖象，由圖象易知交點為（2，1），故得到函數(shù)的零點為x=2．
依此類推，當(dāng)x∈（2，3]，x∈（3，4]，…，x∈（n，n+1]時，構(gòu)造的兩函數(shù)圖象的交點依次為（3，1），（4，1），…，（n+1，1），得對應(yīng)的零點分別為x=3，x=4，…，x=n+1．
故所有的零點從小到大依次排列為0，1，2，…，n+1．其對應(yīng)的數(shù)列的通項公式為a_n=n-1．
故選B．