Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，x＞0}\\{1-{x}^{2}，x≤0}\end{array}\right.$，則方程f（x²-2x）=a（a≥0）的不同實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)不可能為（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6．

Answer 1

分析 利用換元法設(shè)t=x²-2x，分別作出函數(shù)a=f（t），以及t=x²-2x的圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象分別討論a的值，進(jìn)行求解判斷即可．

解答 解：作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，x＞0}\\{{1-x}^{2}，x≤0}\end{array}\right.$的圖象如右圖，

∵x²-2x=（x-1）²-1；
∴設(shè)t=x²-2x，

①若a＞1，由f（t）=a得方程有一個(gè)根t∈（0，1），
當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，t=x²-2x，有兩個(gè)根，則此時(shí)，f（x²-2x）=a（a≥0）有2個(gè)根，
②若a=1，由f（t）=a得方程有一個(gè)根t=0，另外一個(gè)根t∈（0，1），
當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，t=x²-2x，有兩個(gè)根，
當(dāng)t=0時(shí)，t=x²-2x，有兩個(gè)根，則此時(shí)，f（x²-2x）=a（a≥0）有4個(gè)根，
③若0＜a＜1，由f（t）=a得方程有三個(gè)根，一個(gè)根t∈（-1，0），一個(gè)t∈（1，+∞），另外一個(gè)根t∈（0，1），
當(dāng)t∈（-1，0）時(shí)，t=x²-2x，有兩個(gè)根，
當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，t=x²-2x，有兩個(gè)根，
當(dāng)t∈（1，+∞）時(shí)，t=x²-2x，有兩個(gè)根，
則此時(shí)，f（x²-2x）=a（a≥0）有6個(gè)根，
④若a=0，由f（t）=a得方程有一個(gè)根t=1，另外一個(gè)根t=-1，
當(dāng)t=-1時(shí)，t=x²-2x，有1個(gè)根，
當(dāng)t=1時(shí)，t=x²-2x，有兩個(gè)根，則此時(shí)，f（x²-2x）=a（a≥0）有3個(gè)根，
即當(dāng)a≥0時(shí)，方程根的個(gè)數(shù)為2，3，4，6，
故不可能是5個(gè)，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用換元法轉(zhuǎn)化兩個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)分別進(jìn)行判斷是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．