Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)為常數(shù)）的所有極值之和為零；

（1）求及的極大值點(diǎn)；

（2）若的極大值為,對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1），極大值點(diǎn)為1；（2）．

【解析】

試題分析：（1）這類問題解法大家比較熟悉，首先求出的導(dǎo)函數(shù)，

，即的兩根為極值點(diǎn)，從而有，，于是我們有，所以，，根據(jù)極大值點(diǎn)的定義可得極大值點(diǎn)為；（2）由（1）可知，這樣就有．題中對任意，恒成立，首先得到恒成立，因此有．不等式恒成立轉(zhuǎn)化為任意恒成立，這樣就是函數(shù)的最小值不小于0，其導(dǎo)函數(shù)，這時出現(xiàn)的一個問題，就是或沒辦法解出，故對再一次求導(dǎo)，，同樣設(shè)，求出，由此可得，時，，即，遞增，于是有時，，遞減；時，，遞增，所以，滿足條件；當(dāng)時，存在，使，這時可得出當(dāng)時，遞減，于是有不合題意，故可得結(jié)論.

試題解析：（1），方程中

有兩個解 是的兩個極值點(diǎn)

的極大值點(diǎn)為1.

（2） 對任意，恒成立

即對任意，恒成立 對恒成立

故

任意恒成立，

令

令

時遞減，時遞增

時，遞增

時，遞減；時，遞增

滿足條件 時，存在，使

當(dāng)時， 遞減，

遞減， 此時不恒成立 故的取值范圍是．

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與極值，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性.