Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=e^mx+x²-mx．
（1）證明：f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增；
（2）若對于任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用f′（x）≥0說明函數(shù)為增函數(shù)，利用f′（x）≤0說明函數(shù)為減函數(shù)．注意參數(shù)m的討論；
（2）由（1）知，對任意的m，f（x）在[-1，0]單調(diào)遞減，在[0，1]單調(diào)遞增，則恒成立問題轉(zhuǎn)化為最大值和最小值問題．從而求得m的取值范圍．

解答 解：（1）證明：f′（x）=m（e^mx-1）+2x．
若m≥0，則當x∈（-∞，0）時，e^mx-1≤0，f′（x）＜0；當x∈（0，+∞）時，e^mx-1≥0，f′（x）＞0．
若m＜0，則當x∈（-∞，0）時，e^mx-1＞0，f′（x）＜0；當x∈（0，+∞）時，e^mx-1＜0，f′（x）＞0．
所以，f（x）在（-∞，0）時單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增．
（2）由（1）知，對任意的m，f（x）在[-1，0]單調(diào)遞減，在[0，1]單調(diào)遞增，故f（x）在x=0處取得最小值．
所以對于任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1的充要條件是$\left\{\begin{array}{l}{f（1）-f（0）≤e-1}\\{f（-1）-f（0）≤e-1}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{m}-m≤e-1}\\{{e}^{-m}+m≤e-1}\end{array}\right.①$
設(shè)函數(shù)g（t）=e^t-t-e+1，則g′（t）=e^t-1．
當t＜0時，g′（t）＜0；當t＞0時，g′（t）＞0．故g（t）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增．
又g（1）=0，g（-1）=e^-1+2-e＜0，故當t∈[-1，1]時，g（t）≤0．
當m∈[-1，1]時，g（m）≤0，g（-m）≤0，即合式成立；
當m＞1時，由g（t）的單調(diào)性，g（m）＞0，即e^m-m＞e-1．
當m＜-1時，g（-m）＞0，即e^-m+m＞e-1．
綜上，m的取值范圍是[-1，1]

點評 本題主要考查導數(shù)在求單調(diào)函數(shù)中的應用和恒成立在求參數(shù)中的應用．屬于難題，高考壓軸題．