Question

3．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=3，$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為120°，$\overrightarrow c$=$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$，$\overrightarrow d$=2$\overrightarrow a$+k$\overrightarrow b$，當(dāng)實(shí)數(shù)k取何值時(shí)：
（1）$\overrightarrow c⊥\overrightarrow d$．
（2）$\overrightarrow c∥\overrightarrow d$．

Answer 1

分析 （1）可先由條件得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-6$，而$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrowkjtb5ri$時(shí)，$\overrightarrow{c}•\overrightarrowlcd3ses=0$，從而可得到32-6（4+k）+18k=0，這樣即可求出k的值；
（2）根據(jù)條件可知$\overrightarrow{c}，\overrightarrowmbeb7ip$不共線，從而由$\overrightarrow{c}∥\overrightarrowtr9jh5z$可得$\overrightarrowrj5tigu=x\overrightarrow{c}$，即得到$2\overrightarrow{a}+k\overrightarrow=x\overrightarrow{a}+2x\overrightarrow$，從而由平面向量基本定理即可得到關(guān)于k，x的方程組，解方程組即可得出k的值．

解答 解：根據(jù)條件，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|cos120°=-6$；
（1）若$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrowrujknun$，則$\overrightarrow{c}•\overrightarrowhztwhm5=0$；
即$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）•（2\overrightarrow{a}+k\overrightarrow）=2{\overrightarrow{a}}^{2}+（4+k）\overrightarrow{a}•\overrightarrow+2k{\overrightarrow}^{2}$=32-6（4+k）+18k=0；
∴$k=-\frac{2}{3}$；
即$k=-\frac{2}{3}$時(shí)，$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrowv4bctd0$；
（2）若$\overrightarrow{c}∥\overrightarrowf5rlkwb$，根據(jù)題意知，$\overrightarrow{c}，\overrightarrow45smapn$都為非零向量且不共線；
∴存在x，使$\overrightarrow36ws5l5=x\overrightarrow{c}$；
即$2\overrightarrow{a}+k\overrightarrow=x\overrightarrow{a}+2x\overrightarrow$；
∴由平面向量基本定理得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{2x=k}\end{array}\right.$；
∴k=4；
即k=4時(shí)，$\overrightarrow{c}∥\overrightarrowtdvy5ho$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，向量垂直的充要條件，以及平面向量和共線向量基本定理．