Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)圖象經(jīng)過的定點坐標；

（2）當時，求曲線在點處的切線方程及函數(shù)單調(diào)區(qū)間；

（3）若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）.

【解析】

試題分析：（1）當時，，則，即可求得頂點坐標；（2）當時，，對求導，分別求出與，即可得切線方程，再根據(jù)導函數(shù)的正負，即可求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（3）對函數(shù)求導，討論和時，函數(shù)的單調(diào)性，進而求出，即可求出實數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）當時，

∴，

∴函數(shù)的圖象無論為何值都經(jīng)過定點.

（2）當時，.

，，，

則切線方程為，即.

在時，如果，

即時，函數(shù)單調(diào)遞增；

如果，

即時，函數(shù)單調(diào)遞減.

（3），.

當時，，在上單調(diào)遞增.

，不恒成立.

當時，設，.

∵的對稱軸為，，

∴在上單調(diào)遞增，且存在唯一，

使得.

∴當時，，即，在上單調(diào)遞減；

∴當時，，即，在上單調(diào)遞增.

∴在上的最大值.

∴，得，

解得.