Question

【題目】如圖，已知在四棱錐中，平面平面，且， ， ， ， ， 為的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明： 平面；

（Ⅱ）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】(Ⅰ）見解析（Ⅱ）.

【解析】試題分析：

(1)取的中點(diǎn)，連接.由幾何關(guān)系可證得四邊形為平行四邊形，則，利用線面平行的判斷定理可得平面.

(2)由題意可得點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的兩倍，則.利用梯形的性質(zhì)可得.

取的中點(diǎn)，由線面垂直的判斷定理可得平面，則點(diǎn)到平面的距離即為.最后利用棱錐的體積公式可得.

試題解析：

(Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接.

在中， 為中位線，則，又，故，

則四邊形為平行四邊形，得，又平面， 平面，則平面.

（Ⅱ）由為的中點(diǎn)，知點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的兩倍，則

.

由題意知，四邊形為等腰梯形，且， ，易求其高為，則.

取的中點(diǎn)，在等腰直角中，有， ，又平面平面，故平面，則點(diǎn)到平面的距離即為.

于是， ， .