Question

梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B = 60°，AB =BC，E為AB的中點.求證:△ECD為等邊三角形.

圖1-1-21

Answer 1

思路分析:一般在梯形中給出了一腰的中點，常添加的輔助線有:①過這一點作底邊的平行線，由平行線等分線段定理推論得另一腰的中點；②可延長DE（或CE）與底邊相交，構(gòu)造全等三角形.

證明:連結(jié)AC，過點E作EF∥AD交DC于F.?

∵梯形ABCD,∴AD∥BC.∴AD∥EF∥BC.?

又∵E是AB的中點，∴F是DC的中點

（經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線平分另一腰）.?

∵DC⊥BC,∴EF⊥DC.?

∴ED=EC（線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等）.?

∴△EDC為等腰三角形.?

∵AB =BC,∠B =60°,?

∴△ABC是等邊三角形.?

∴∠ACB =60°.?

又∵E是AB邊中點,?

∴CE平分∠ACB.?

∴∠1=∠2=30°.

∴∠DEF=30°.

∴∠DEC=60°.?

又∵ED=EC,

∴△DEC為等邊三角形.