Question

如圖(1)，四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，DB＝2，DC＝1，BC＝，AB＝AD＝.將圖(1)沿直線BD折起，使得二面角A­BD­C為60°，如圖(2)．

(1)求證：AE⊥平面BDC；

(2)求直線AC與平面ABD所成角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

(1)見解析   (2)

【解析】解：(1)證明：取BD的中點(diǎn)F，連接EF，AF，

則AF＝1，EF＝，∠AFE＝60°.

由余弦定理知

AE＝＝.

∵AE²＋EF²＝AF²，∴AE⊥EF.

∵AB＝AD，F(xiàn)為BD中點(diǎn)．∴BD⊥AF.

又BD＝2，DC＝1，BC＝，

∴BD²＋DC²＝BC²，

即BD⊥CD.

又E為BC中點(diǎn)，EF∥CD，∴BD⊥EF.

又EF∩AF＝F，

∴BD⊥平面AEF.又BD⊥AE，

∵BD∩EF＝F，

∴AE⊥平面BDC.

(2)以E為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A，

C，

B，

D，＝(2,0,0)，

＝，＝.

設(shè)平面ABD的法向量為n＝(x，y，z)，

由得

取z＝，

則y＝－3，又∵n＝(0，－3，)．

∴cos〈n，〉＝＝－.

故直線AC與平面ABD所成角的余弦值為.