Question

5．下表數(shù)據(jù)為某地區(qū)某種農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量x（單位：噸）及對應(yīng)銷售價格y（單位：千元/噸）．

x	1	2	3	4	5
y	70	65	55	38	22

（1）若y與x有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$；
（2）若每噸該農(nóng)產(chǎn)品的成本為13.1千元，假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品可全部賣出，預(yù)測當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時，年利潤Z最大？
參考公式：$\left\{\begin{array}{l}{\widehat=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n\stackrel{-2}{x}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}}\\{\widehat{a}=\overline{y}-\widehat\overline{x}}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （I）計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i和$\sum_{i=1}^{5}$${{x}_{i}}^{2}$，求出回歸系數(shù)$\widehat$、$\widehat{a}$，寫出回歸方程；
（Ⅱ）寫出年利潤函數(shù)z，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出Z的最大值．

解答 解：（I）計算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（1+2+3+4+5）=3，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（70+65+55+38+22）=50，
$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=1×70+2×65+3×55+4×38+3×22=627，
$\sum_{i=1}^{5}$${{x}_{i}}^{2}$=1²+2²+3²+4²+5²=55；
∴回歸系數(shù)$\widehat$=$\frac{627-5×3×5}{55-5{×3}^{2}}$≈-12.3，
$\widehat{a}$=50-（-12.3）×3=86.9；
∴y關(guān)于x的線性回歸方程為$\widehat{y}$=-12.3x+86.9；
（Ⅱ）年利潤z=x（86.9-12.3x）-13.1x
=-12.3x²+73.8x；
∴當(dāng)x=-$\frac{73.8}{2×（-12.3）}$=3時，年利潤Z最大．

點(diǎn)評 本題考查了線性回歸方程的應(yīng)用問題，也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．