Question

5．給出下列命題：
①設(shè)O，A，B，C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在一唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$；
②若{$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{{e}_{3}}$}為空間的一個基底，則{$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{3}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$+$\overrightarrow{{e}_{3}}$，$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$}也能構(gòu)成空間的一個基底；
③給定$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$不共線，則存在無窮多個向量使得它與$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$一起構(gòu)成空間的一個基底；
④若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$不能構(gòu)成空間的一個基底，則$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$中至少有兩個向量共線．
其中正確的個數(shù)有（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)空間向量的基本定理逐一分析四個結(jié)論的真假，綜合可得答案．

解答 解：①設(shè)O，A，B，C是不共面的四點，則$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$可以作為空間的一組基底，
由空間向量的基本定理可得：對空間任一點P，都存在一唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$，故正確；
②若{$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{{e}_{3}}$}為空間的一個基底，則$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{{e}_{3}}$不共面，則$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{3}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$+$\overrightarrow{{e}_{3}}$，$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$也不共面，
則{$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{3}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$+$\overrightarrow{{e}_{3}}$，$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$}也能構(gòu)成空間的一個基底，故正確；
③給定$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$不共線，則存在無窮多個與$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$不共面的向量使得它與$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$一起構(gòu)成空間的一個基底，故正確；
④若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$不能構(gòu)成空間的一個基底，則$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$共面，但$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$中可以均為不共線的向量，故錯誤．
故正確的命題的個數(shù)有3個，
故選：C

點評 本題以命題的真假判斷為載體，考查了空間向量的基本定理，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．