Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，兩準(zhǔn)線間的距離為l.

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)直線過(guò)點(diǎn)P(0,2)且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)ΔAOB面積取得最大值時(shí)，求直線的方程.

Answer 1

解：設(shè)橢圓方程為

（Ⅰ）由已知得

∴所求橢圓方程為       .

（Ⅱ）解法一：由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為

由，消去y得關(guān)于x的方程：

由直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，∴

解得

又由韋達(dá)定理得

            

原點(diǎn)到直線的距離

.

解法1：對(duì)兩邊平方整理得：

（*）

              ∵，

             

              整理得：

              又，∴   

              從而的最大值為，

此時(shí)代入方程（*）得  

∴

所以，所求直線方程為：.

解法2：令，

              則

                     ∴

                     當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，

                    

                     此時(shí).

                                    所以，所求直線方程為

解法二：由題意知直線l的斜率存在且不為零.

                        設(shè)直線l的方程為，

              則直線l與x軸的交點(diǎn)，

              由解法一知且，

              解法1：

                                   

                                 

                                 

                                  .

                                    下同解法一.

                        解法2：

                                   

                                   

                                   

                           下同解法一.