Question

（本小題滿分13分）設是定義在上的函數(shù)，對任意實數(shù)、，都有，且當＜0時，＞1．

（1）證明：①；

②當＞0時，0＜＜1；

③是上的減函數(shù)；

（2）設，試解關(guān)于的不等式；

 

Answer 1

【答案】

（1）略

（2）當2＜，即＞時，不等式的解集為≤≤；

當2=，即=時，≤0，不等式的解集為；

當2＞，即＜時，不等式的解集為≤≤2.

 

【解析】解：（I）證明：（1）在中，令

得即∴或，

若，則當＜0時，有，與題設矛盾，

∴

（2）當＞0時，＜0，由已知得＞1，

又，，

∴  0＜=＜1，  即＞0時，0＜＜1.

（3）任取＜，則，

∵＜0，∴＞1，又由(1)(2)及已知條件知＞0，

∴＞，∴在定義域上為減函數(shù).

（II）=

又，在上單調(diào)遞減.

∴原不等式等價于≤0

不等式可化為≤0

當2＜，即＞時，不等式的解集為≤≤；

當2=，即=時，≤0，不等式的解集為；

當2＞，即＜時，不等式的解集為≤≤2.