Question

10．已知x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{y≥2}\\{x+y≤8}\end{array}\right.$時(shí)，z=$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$（a≥b＞0）的最大值為2，則a+b的最小值為（　�。�

• A． 4+2$\sqrt{3}$
• B． 4-2$\sqrt{3}$
• C． 9
• D． 8

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，結(jié)合z=$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$（a≥b＞0）的最大值為2可得$\frac{1}{a}+\frac{3}=1$，然后利用基本不等式求最值．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$（a≥b＞0）得$y=-\frac{a}x+bz$，
則斜率k=-$\frac{a}$∈[-1，0），
則由圖象可知當(dāng)直線y=-$\frac{a}$x+bz經(jīng)過點(diǎn)A（2，6）時(shí)，
直線y=-$\frac{a}$x+bz的截距最大，
此時(shí)$\frac{2}{a}+\frac{6}=2$即$\frac{1}{a}+\frac{3}=1$．
則a+b=（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{3}$）=1+3+$\frac{a}+\frac{3a}$≥4+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{3a}}$=4+2$\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}=\frac{3a}$，即b=$\sqrt{3}$a取等號此時(shí)不成立，故基本不等式不成立．
設(shè)t=$\frac{a}$，
∵a≥b＞0，
∴0＜$\frac{a}$≤1，即0＜t≤1，
則1+3+$\frac{a}+\frac{3a}$=4+t+$\frac{3}{t}$在（0，1]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)t=1時(shí)，
1+3+$\frac{a}+\frac{3a}$=4+t+$\frac{3}{t}$取得最小值為4+1+3=8．
即a+b的最小值為8．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．