Question

20．已知直線l₁：y=2x+3，l₂：y=x+2相交于點C．
（1）求點C的坐標；
（2）求以點C為圓心，且與直線3x+4y+4=0相切的圓的方程；
（3）若直線x+y+t=0與（2）中的圓C交于A、B兩點，求△ABC面積的最大值及實數(shù)t的值．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立直線方程，解方程可得交點C；
（2）運用直線和圓相切的條件：d=r，由圓的標準方程可得所求圓的方程；
（3）方法一、運用三角形的面積公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域，可得最大值，再由點到直線的距離公式，可得t的值；
方法二、運用弦長公式和基本不等式可得面積的最大值，再由點到直線的距離公式，可得t的值．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}y=2x+3\\ y=x+2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1\end{array}\right.$，∴C（-1，1）；
（2）圓心C（-1，1），
半徑$r=\frac{{|{3×（-1）+4×1+4}|}}{5}=1$，
所以圓C的方程為（x+1）²+（y-1）²=1．
（3）方法一：因${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}r•rsin∠ACB=\frac{1}{2}sin∠ACB$，
顯然當sin∠ACB=1，即∠ACB=90°時，S_△ABC取到最大值$\frac{1}{2}$，
此時，直角△ABC的斜邊AB上的高為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
又圓心C到直線x+y+t=0的距離為$\frac{{|{-1+1+t}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{|t|}{{\sqrt{2}}}$，
由$\frac{|t|}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，解得t=1或t=-1．
方法二：設(shè)圓心C到直線x+y+t=0的距離為d，H為AB的中點，連結(jié)CH，
因弦AB的長為$|{AB}|=2\sqrt{{r^2}-{{|{CH}|}^2}}=2\sqrt{1-{d^2}}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|{AB}|•d=d\sqrt{1-{d^2}}$=$\sqrt{{d^2}（1-{d^2}）}≤\frac{{{d^2}+（1-{d^2}）}}{2}=\frac{1}{2}$，
當且僅當d²=（1-d²），即${d^2}=\frac{1}{2}$，$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$時取等號，S_△ABC取到最大值$\frac{1}{2}$，
因$h=\frac{{|{-1+1+t}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{|t|}{{\sqrt{2}}}$，
由$\frac{|t|}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，解得t=1或t=-1．

點評 本題考查直線和直線的交點的求法，圓的方程的求法，以及直線和圓相切的條件和相交的弦長求法，考查點到直線的距離公式的運用，屬于中檔題．