Question

已知函數(shù)f(x)=log_ax(a＞0,a≠1)，如果對于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，

試求a的取值范圍.

Answer 1

(1，3］∪［，1）

解析:

：當a＞1時，對于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0.所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log_ax在［3，+∞）上為增函數(shù)，∴對于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥log_a3. 因此，要使|f(x)|≥1對于任意x∈［3，+∞）都成立.只要log_a3≥1=log_aa即可，∴1＜a≤3. 當0＜a＜1時，對于x∈［3，+∞），有f(x)＜0,∴|f(x)|=-f(x). ∵f（x）=log_ax在［3，+∞）上為減函數(shù)，∴-f（x）在［3，+∞）上為增函數(shù).∴對于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|=-f(x)≥-log_a3. 因此，要使|f(x)|≥1對于任意x∈［3，+∞）都成立，只要-log_a3≥1成立即可，∴l(xiāng)og_a3≤-1=log_a,即≤3,∴≤a＜1.綜上，使|f(x)|≥1對任意x∈［3，+∞）都成立的a的取值范圍是：(1，3］∪［，1）.