Question

如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，過(guò)B作圓O的切線(xiàn)交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，若BD是∠CBE的平分線(xiàn)．證明：
（Ⅰ）AD是∠BAC的平分線(xiàn)；
（Ⅱ）AB•BE=AE•CD．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段

專(zhuān)題：選作題,立體幾何

分析：（Ⅰ）證明AD是∠BAC的平分線(xiàn)，只需證明∠CAD=∠BAD，利用BE是圓O的切線(xiàn)，BD是∠CBE的平分線(xiàn)即可證明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，△ABE∽△BDE，可得

AE

BE

=

AB

BD

，證明BD=CD，即可證明AB•BE=AE•CD．

解答： 證明：（Ⅰ）∵BE是圓O的切線(xiàn)，
∴∠EBD=∠BAD=∠BCD，
∵BD是∠CBE的平分線(xiàn)，
∴∠CBD=∠BAD，
∴∠CAD=∠CBD=∠BAD，
∴AD是∠BAC的平分線(xiàn)；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，△ABE∽△BDE，
∴

AE

BE

=

AB

BD

，
在△BCD中，∠BCD=∠CBD，
∴BD=CD，
∴

AE

BE

=

AB

CD

，
∴AB•BE=AE•CD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段，考查三角形相似的判斷與運(yùn)用，難度中等．