Question

4．已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線(xiàn)C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，若在雙曲線(xiàn)C上存在點(diǎn)P使∠F₁PF₂=90°，且滿(mǎn)足2∠PF₁F₂=∠PF₂F₁，那么雙曲線(xiàn)C的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$+1
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 由已知得∠F₁PF₂=90°，∠PF₁F₂=30°，∠PF₂F₁=60°，設(shè)|PF₂|=x，則|PF₁|=$\sqrt{3}x$，|F₁F₂|=2x，由此能求出雙曲線(xiàn)C的離心率．

解答 解如圖，∵∠F₁PF₂=90°，且滿(mǎn)足2∠PF₁F₂=∠PF₂F₁，
∴∠F₁PF₂=90°，∠PF₁F₂=30°，∠PF₂F₁=60°，
設(shè)|PF₂|=x，則|PF₁|=$\sqrt{3}x$，|F₁F₂|=2x，
∴2a=$\sqrt{3}x-x$，2c=2x，
∴雙曲線(xiàn)C的離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{2x}{\sqrt{3}x-x}$=$\sqrt{3}+1$．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的離心率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線(xiàn)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．