Question

20．在（x+2）⁸展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大
（1）若$（a-\frac{1}{x}）{（x+2）^n}$的展開式中常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為1024，求a的值
（2）求（x+2）⁸展開式所有含x奇次冪的系數(shù)和．

Answer 1

分析 （1）由題意利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得n的值，再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求得a的值．
（2）在 （x+2）⁸=${C}_{8}^{0}$•x⁸+${C}_{8}^{1}$•x⁷•2+${C}_{8}^{2}$•x⁶•2²+…+${C}_{8}^{8}$•2⁸ 中，分別令x=1，x=-1，得到2個式子，相減可得要求式子的值．

解答 解：（1）在（x+2）ⁿ展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以n=8，
在$（a-\frac{1}{x}）{（x+2）^n}$=（a-$\frac{1}{x}$）•（x+2）⁸=（a-$\frac{1}{x}$）•（${C}_{8}^{0}$•x⁸+${C}_{8}^{1}$•x⁷•2+${C}_{8}^{2}$•x⁶•2²+…+${C}_{8}^{8}$•2⁸），
故展開式中常數(shù)項(xiàng)為a•${C}_{8}^{8}$•2⁸-${C}_{8}^{7}$•2⁷=1024，解得a=8．
（2）在 （x+2）⁸=${C}_{8}^{0}$•x⁸+${C}_{8}^{1}$•x⁷•2+${C}_{8}^{2}$•x⁶•2²+…+${C}_{8}^{8}$•2⁸ 中，
令x=1，則3⁸=a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₇+a₈，
令x=-1，則1=a₀-a₁+a₂-a₃+…-a₇+a₈ ，
兩式相減得：2（a₁+a₃+a₅+a₇）=3⁸-1，
∴a₁+a₃+a₅+a₇=$\frac{{3}^{8}-1}{2}$=3280．

點(diǎn)評 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過給二項(xiàng)式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡便的求出答案，屬于基礎(chǔ)題．