Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿(mǎn)足a₁=$\frac{1}{2}$，S_n=n²a_n，求其通項(xiàng)a_n．

Answer 1

分析 S_n=n²a_n，可得n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，化為：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$．利用a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$$•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•$\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁，即可得出．

解答 解：∵S_n=n²a_n，∴n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²a_n-（n-1）²a_n-1，
化為：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$$•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•$\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}•\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁=$\frac{n-1}{n+1}$$•\frac{n-2}{n}•\frac{n-3}{n-1}$•…•$\frac{2}{4}•\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{n（n+1）}$．
n=1時(shí)也成立．
∴a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、通項(xiàng)公式、“累乘求積方法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．