Question

設(shè)實(shí)數(shù)b，c滿足b²+c²=1，且f（x）=ax+bsinx+ccosx的圖象上存在兩條切線垂直，則a+b+c的取值范圍是

[-

2

，

2

]

．

Answer 1

分析：先利用輔助角公式和b²+c²=1將函數(shù)f（x）化簡為f（x）=ax+sin（x+φ），求出f′（x）=a+cos（x+φ），
根據(jù)f（x）=ax+bsinx+ccosx的圖象上存在兩條切線垂直，不妨設(shè)在x=m與x=n處的切線互相垂直，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別求出兩條切線的斜率k₁=f′（m）=a+cos（m+φ），k₂=f′（n）=a+cos（n+φ），則[a+cos（m+φ）][a+cos（n+φ）]=-1，化簡為關(guān)于a的一元二次方程要有實(shí)數(shù)根，從而得到△≥0，再利用三角函數(shù)的有界性，即可得到cos（m+φ）=1，cos（n+φ）=-1或者cos（m+φ）=-1，cos（n+φ）=1，代入到[a+cos（m+φ）][a+cos（n+φ）]=-1，求出a=0，將a+b+c的取值范圍轉(zhuǎn)化為求b+c的取值范圍，根據(jù)b²+c²=1，利用基本不等式，求出bc的范圍，結(jié)合（b+c）²=b²+c²+2bc=1+2bc，即可求出b+c的取值范圍，從而得到a+b+c的取值范圍．

解答：解：∵f（x）=ax+bsinx+ccosx
∴f（x）=ax+

b2+c2

sin（x+φ），
∵b²+c²=1，
∴f（x）=ax+sin（x+φ），
∴f′（x）=a+cos（x+φ），
∵f（x）=ax+bsinx+ccosx的圖象上存在兩條切線垂直，
設(shè)在x=m與x=n處的切線互相垂直，
則k₁=f′（m）=a+cos（m+φ），k₂=f′（n）=a+cos（n+φ），
∴k₁•k₂=-1，
即[a+cos（m+φ）][a+cos（n+φ）]=-1，
∴關(guān)于a的二次方程a²+[cos（m+φ）+cos（n+φ）]a+cos（m+φ）cos（n+φ）+1=0有實(shí)數(shù)根，
∴△=[cos（m+φ）+cos（n+φ）]²-4×[cos（m+φ）cos（n+φ）+1]=[cos（m+φ）-cos（n+φ）]²-4≥0，
又∵-2≤cos（m+φ）-cos（n+φ）≤2，
∴[cos（m+φ）-cos（n+φ）]²≤4，即[cos（m+φ）-cos（n+φ）]²-4≤0，
∴[cos（m+φ）-cos（n+φ）]²-4=0
∴cos（m+φ）=1，cos（n+φ）=-1或者cos（m+φ）=-1，cos（n+φ）=1，
∵[a+cos（m+φ）][a+cos（n+φ）]=-1，
∴a²-1=-1，
∴a=0，
根據(jù)基本不等式，則有b²+c²=1≥2

b2c2

=2|bc|（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)），
∴1≥2|bc|，即|bc|≤

1

2

，
∴-

1

2

≤bc≤

1

2

，
又（b+c）²=b²+c²+2bc=1+2bc，
∴0≤1+2bc≤2
∴0≤（b+c）²≤2，
∴-

2

≤b+c≤

2

，
∵a=0，
∴a+b+c=b+c，
∴a+b+c的取值范圍即為b+c的取值范圍為[-

2

，

2

]．
故答案為：[-

2

，

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．導(dǎo)數(shù)的幾何意義即在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即該點(diǎn)處切線的斜率，解題時(shí)要注意運(yùn)用切點(diǎn)在曲線上和切點(diǎn)在切線上．在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”的判斷．屬于中檔題．