Question

已知函數(shù)f（x）=-ax（a為常數(shù)，a>0）。
（1）若是函數(shù)f（x）的一個極值點，求a的值；
（2）求證：當0＜a≤2時，f（x）在上是增函數(shù)；
（3）若對任意的a∈（1，2），總存在，使不等式f（x₀）>m（1-a²）成立，求實數(shù)m的取值范圍。

Answer 1

解：
（1）由已知，得且
∴a²-a-2=0
∵a>0
∴a=2。
（2）當0＜a≤2時，∵
∴
∴當時，
又
∴f′（x）≥0，
故 f（x）在上是增函數(shù)。
（3）a∈（1，2）時，由（2）知，f（x）在上的最大值為
于是問題等價于：對任意的a∈（1，2），不等式恒成立
記（1＜a＜2）
則
當m=0時，
∴g（a）在區(qū)間（1，2）上遞減，
此時，g（a）＜g（1）=0，
∵a²-1>0，
∴m≤0時不可能使g（a）>0恒成立，故必有m>0
∴
若，可知g（a）在區(qū)間上遞減，
在此區(qū)間上，有g（a）＜g（1）=0，與g（a）>0恒成立矛盾，
故，
這時，g′（a）>0，g（a）在（1，2）上遞增，恒有g（a）>g（1）=0，滿足題設要求，
∴，即，
所以，實數(shù)m的取值范圍為。